本文旨在指导读者如何使用 python 的 SymPy 库解决包含未知权重的欠定线性方程组。通过一个具体示例，我们将展示如何定义符号变量、构建方程组，并利用 linsolve 函数获取参数化解，最终通过代入法得到具体数值解，并进行验证。
1. 问题背景与挑战
在数据处理和科学计算中，我们经常会遇到需要确定一组未知权重来满足特定线性方程组的问题。假设我们有一个矩阵 a（维度为 nxm），其中包含待求解的未知权重 w_i；一个已知向量 b（维度为 mx1）；以及一个已知向量 c（维度为 nx1）。我们的目标是找到满足方程 a * b = c 的所有 w_i 值。
一个典型的例子是： 矩阵 A：
w1 w2 0 w3 0 w4 0 w5 0
向量 b：
10 5 3
向量 c：
0 0 0
在这种情况下，如果未知变量的数量（例如这里的 w1 到 w5 共 5 个）多于独立的方程数量（这里是 3 个），那么这个系统就是欠定系统。欠定系统通常不会有唯一解，而是会产生无穷多个解，这些解通常以参数化形式表示。尽管原始问题可能提及 pyspark，但对于这种符号计算和方程求解，sympy 库提供了更直接和强大的功能。
2. SymPy 库简介与应用
SymPy 是一个用于符号数学的 Python 库，它能够执行微积分、代数、离散数学等各种数学运算。对于线性方程组的求解，SymPy 的 linsolve 函数非常强大，它能够处理欠定、超定或唯一解的系统，并以符号形式给出结果。
3. 构建并求解线性方程组
为了解决上述问题，我们将遵循以下步骤：
3.1 定义符号变量
首先，我们需要使用 sympy.symbols 函数定义所有的未知权重为符号变量。
from sympy import symbols, Eq, linsolve # 定义未知权重变量 w1, w2, w3, w4, w5 = symbols('w1:6') # 定义已知系数 b1, b2, b3 = 10, 5, 3 c1, c2, c3 = 0, 0, 0
这里 symbols(‘w1:6’) 是一种便捷的方式，可以创建 w1, w2, w3, w4, w5 这五个符号变量。
3.2 构造方程
根据 A * b = c 的矩阵乘法规则，我们可以将矩阵 A 的每一行与向量 b 相乘，并使其等于向量 c 的对应元素，从而得到一系列线性方程。
- *第一个方程 (A的第一行 b = c的第一行):* `w1 b1 + w2 b2 + 0 b3 = c1`
- *第二个方程 (A的第二行 b = c的第二行):* `w3 b1 + 0 b2 + w4 b3 = c2`
- *第三个方程 (A的第三行 b = c的第三行):* `0 b1 + w5 b2 + 0 b3 = c3`
使用 sympy.Eq 函数来构建这些方程：
eq1 = Eq(w1 * b1 + w2 * b2 + 0 * b3, c1) eq2 = Eq(w3 * b1 + 0 * b2 + w4 * b3, c2) eq3 = Eq(0 * b1 + w5 * b2 + 0 * b3, c3) # 将所有方程放入一个列表中 eqns = [eq1, eq2, eq3]
3.3 使用 linsolve 求解
现在，我们可以使用 linsolve 函数来求解这个方程组。它需要两个参数：方程列表和待求解的符号变量列表。
solution = linsolve(eqns, [w1, w2, w3, w4, w5]) print("符号形式的解:") print(solution)
输出示例:
符号形式的解: {(-w2/2, w2, -3*w4/10, w4, 0)}
这个输出表示一个解集，其中 w1、w3 和 w5 被表示为 w2 和 w4 的函数。这意味着 w2 和 w4 是自由变量（或参数），可以取任意值，而其他变量的值则由它们决定。
4. 理解与应用参数化解
由于这是一个欠定系统，linsolve 返回的解是参数化的。这意味着存在无穷多组 (w1, w2, w3, w4, w5) 的组合能够满足原始方程。我们可以通过为自由变量（本例中为 w2 和 w4）代入具体数值来获得一个特定的解。
# 代入 w2=1 和 w4=1 来获取一个具体解 substituted_solution = solution.subs({w2: 1, w4: 1}) print("n代入独立变量后的解:") print(substituted_solution)
输出示例:
代入独立变量后的解: {(-1/2, 1, -3/10, 1, 0)}
这个结果对应于 {w1, w2, w3, w4, w5} 的具体值：w1 = -1/2, w2 = 1, w3 = -3/10, w4 = 1, w5 = 0。
5. 结果验证
为了确保我们得到的解是正确的，我们可以将这些具体值代回到原始的方程中进行验证。
# 提取具体解的值 w1_val, w2_val, w3_val, w4_val, w5_val = list(substituted_solution)[0] # 验证第一个方程 # w1*b1 + w2*b2 + 0*b3 = c1 # -1/2 * 10 + 1 * 5 + 0 * 3 = -5 + 5 + 0 = 0 print(f"n验证方程1: {w1_val * b1 + w2_val * b2 + 0 * b3} == {c1}") # 验证第二个方程 # w3*b1 + 0*b2 + w4*b3 = c2 # -3/10 * 10 + 0 * 5 + 1 * 3 = -3 + 0 + 3 = 0 print(f"验证方程2: {w3_val * b1 + 0 * b2 + w4_val * b3} == {c2}") # 验证第三个方程 # 0*b1 + w5*b2 + 0*b3 = c3 # 0 * 10 + 0 * 5 + 0 * 3 = 0 print(f"验证方程3: {0 * b1 + w5_val * b2 + 0 * b3} == {c3}")
所有验证结果都将显示为 True (或计算结果等于 c_i 的值)，证明我们得到的解是正确的。
6. 完整示例代码
from sympy import symbols, Eq, linsolve # 1. 定义未知权重变量 w1, w2, w3, w4, w5 = symbols('w1:6') # 2. 定义已知系数 b1, b2, b3 = 10, 5, 3 # 向量 b 的元素 c1, c2, c3 = 0, 0, 0 # 向量 c 的元素 # 3. 构造线性方程组 # 对应 A*b = c 的三个方程 eq1 = Eq(w1 * b1 + w2 * b2 + 0 * b3, c1) eq2 = Eq(w3 * b1 + 0 * b2 + w4 * b3, c2) eq3 = Eq(0 * b1 + w5 * b2 + 0 * b3, c3) # 将所有方程放入一个列表中 eqns = [eq1, eq2, eq3] # 4. 使用 linsolve 求解 solution = linsolve(eqns, [w1, w2, w3, w4, w5]) print("符号形式的解:") print(solution) # 5. 代入独立变量获取具体解 (例如，设置 w2=1, w4=1) # 注意：solution 是一个集合，包含一个元组，所以需要先转换为列表再取第一个元素 substituted_solution = solution.subs({w2: 1, w4: 1}) print("n代入独立变量后的解:") print(substituted_solution) # 6. 结果验证 if substituted_solution: # 从集合中提取元组形式的解 w1_val, w2_val, w3_val, w4_val, w5_val = list(substituted_solution)[0] print("n验证结果:") # 验证方程1: w1*b1 + w2*b2 + 0*b3 = c1 lhs1 = w1_val * b1 + w2_val * b2 + 0 * b3 print(f"方程1左侧: {lhs1}, 右侧: {c1}. 匹配: {lhs1 == c1}") # 验证方程2: w3*b1 + 0*b2 + w4*b3 = c2 lhs2 = w3_val * b1 + 0 * b2 + w4_val * b3 print(f"方程2左侧: {lhs2}, 右侧: {c2}. 匹配: {lhs2 == c2}") # 验证方程3: 0*b1 + w5*b2 + 0*b3 = c3 lhs3 = 0 * b1 + w5_val * b2 + 0 * b3 print(f"方程3左侧: {lhs3}, 右侧: {c3}. 匹配: {lhs3 == c3}") else: print("n没有找到具体解进行验证。")
7. 注意事项与总结
- 欠定系统的特点： 当方程数量少于未知变量数量时，系统通常是欠定的，会产生参数化解（无穷多解）。
- SymPy 的强大： sympy.linsolve 是处理各类线性方程组的利器，无论是符号求解还是数值代入。
- 选择自由变量： 在参数化解中，您可以选择为自由变量（那些未被其他变量表达的变量）代入任意值，以获得一个特定的解。
- 验证的重要性： 始终建议将得到的解代回原始方程进行验证，以确保计算的正确性。
通过本教程，您应该能够使用 SymPy 库有效地解决涉及未知权重的线性方程组，特别是那些欠定系统，并理解其参数化解的含义。
