电影院座位安排：寻找最低成本的子序列算法

本文旨在解决一个具有实际意义的优化问题，即如何在满足影厅容量限制的前提下，以最低的成本安排观众入座。该问题可以抽象为寻找一个最低成本的子序列，涉及到在两个集合（影厅）之间进行选择，并考虑切换集合的成本。

动态规划解决方案

解决这类问题，动态规划 (DP) 是一种常用的有效方法。其核心思想是将问题分解为更小的子问题，并存储子问题的解，避免重复计算。

以下是该问题的伪代码，展示了如何使用动态规划来找到最低成本的座位安排方案：

cinema(n, B, cost):     return solve(n, 0, B, B, cost)  # + memoize this solve(n, i, cap1, cap2, cost):     #for extra symmetry cap1 is always the last used hall     if n == i:         return 0     cost_to_switch = cost[i] + solve(n, i+1, cap2-1, cap1, cost)     if cap1 == 0:         return cost_to_switch     return min(cost_to_switch, solve(n, i+1, cap1-1, cap2, cost))

代码解释：

• cinema(n, B, cost): 主函数，接收观众总数 n，影厅容量 B，以及切换影厅的成本数组 cost 作为输入。它调用 solve 函数来计算最低成本。
• solve(n, i, cap1, cap2, cost): 递归函数，用于计算从第 i 个观众开始，两个影厅剩余容量分别为 cap1 和 cap2 时的最低成本。 cap1 始终代表上次使用的影厅。
• n == i: 递归终止条件，当所有观众都安排完毕时，返回 0。
• cost_to_switch = cost[i] + solve(n, i+1, cap2-1, cap1, cost): 计算第 i 个观众切换影厅的成本，即当前观众的切换成本加上剩余观众的最低成本。
• if cap1 == 0: 如果当前影厅已满，则必须切换到另一个影厅。
• return min(cost_to_switch, solve(n, i+1, cap1-1, cap2, cost)): 返回切换影厅和不切换影厅两种方案中的最低成本。

Memoization (记忆化):

为了避免重复计算，我们需要对 solve 函数进行记忆化处理。 这意味着，当使用相同的参数调用 solve 函数时，应该直接返回之前计算的结果，而不是重新计算。

python 提供了多种实现 memoization 的方法，例如使用 functools.lru_cache 装饰器，或者手动创建一个字典来存储计算结果。

时间复杂度分析:

在进行了 memoization 之后，solve 函数最多会被调用 O(N B B) 次，其中 N 是观众数量，B 是影厅容量。 每次调用的时间复杂度为 O(1)。因此，总的时间复杂度为 O(N B B)。 由于 B 通常与 N 同阶，因此时间复杂度可以近似为 O(N³)。

注意事项与总结

• 边界条件处理： 在实际应用中，需要仔细处理边界条件，例如当影厅容量为 0 时，或者当所有观众都必须进入同一个影厅时。
• 成本函数： 本文假设切换影厅的成本是固定的。 在实际应用中，成本函数可能会更复杂，例如与观众的偏好、影厅的座位位置等因素相关。
• 优化空间： 虽然 O(N³) 的时间复杂度对于许多情况来说是可以接受的，但仍然存在进一步优化的空间。例如，可以尝试使用更高效的数据结构来存储中间结果，或者使用启发式算法来减少搜索空间。

总而言之，动态规划是一种解决电影院座位安排问题的有效方法。通过合理地分解问题、存储中间结果，并进行 memoization 处理，我们可以将时间复杂度降低到 O(N³)，从而在可接受的时间范围内找到最优的座位安排方案。